辞达而已矣
孔子
形式语言与自然语言浅识
宋方敏
2003年5月南京大学101周年校庆
§1. 符号及其逻辑
§2. 一阶谓词演算语言
§3. 的在自然语言中的解释
§4. 以理解自然语言
§1. 符号及其逻辑（Symbolic Logic）
Definition 1.1（Pierce）
某种对某人来说在某一方面或以某种能力代表某一事物的东西，即符号。
Definition 1.2（Longman字典）
Symbol=a sign, shape, or object which represents a person, idea, value, etc.
Definition 1.3（Hjelmslev）
符号=表现（expression）＋意义（meaning）
表现与意义为矛盾的对立物，而矛盾的统一即为符号。
语言=符号的系统。
自然语言（人类的），数学（大自然的），音乐（神的）等皆为符号系统。
自然语言表达人的思想与情感，符号逻辑思想与推理的形式语言。
历史回顾
·Aristotle（384322 B.C.）工具论 三段论推理。
·F. Bacon（15611626）新工具。
·R. Descartes（1596-1650）方法谈，论证自我的存在和上帝的存在。
·Leibniz（16461716）Leibniz的理想建立一普适的人工语言，在其中能推理和计算。
·G. Boole（18151864）建立人类思维的代数规律的系统，Boolean algebra。
·G. Frege（18481925）1879出版Begriffsschrift（概念文字），严格建立人类第一个人工的形式语言PK。
·G. Peano（18581932）建立算术的形式语言PA（Peanos Arithmatic）。
·G. Cantor（18451918）建立Set Theory，表达整个数学的形式语言
·B. Russell（18721970）与他老师Whitehead合著Principia Mathematica（3卷），逻辑主义的创始人。
·D. Hilbert（18621943）著作几何基础，数学基础，建立几何和数学的形式语言。
·A. Turing（19131954）发明Turings Machine（计算机的原型），建立Computation的形式语言
·K. Gφdel（1906-1978）PK的完全性定理 PA的不完全性定理
注：在2000年，美国的TIMES请专家和公众评20世纪各门学科的the greatest mind，Turing和Gφdel分别列计算机科学和数学第一人。
§2. The 1st order predicate calculus
一阶谓词演算的语言记为，这是人类第一个人工的形式语言
由以下组成：
（1）个体符号
（1.1）个体变元（individual variables）
（
（
为变元
（
（i.e., In BNF，V=v|V′）
（1.2）个体常元（individual constants）
（
（
为常元；
（
（2）函数符（functions）
（2.1）函数变元f0，f1，f2，
（2.2）函数常元g0，g1，g2，
每个函数f有一个arity（>0）
（3）谓词符（predicates）
（3.1）谓词变元p0，p1，
（3.2）谓词常元q0，q1， 约定等词为二元常谓词
每个谓词p有一个arity（>0）
（4）命题（propositions）
（4.1）命题变元P0，P1，
（4.2）命题常元T，F
（5）联结词（Connectives）
，∧，∨，
，
.
（6）量词（quantifiers）
，
（7）辅助符：（，），· ，[ ，]，{，}
至此的字母表已构成，下面发展它的语法（syntax）
定义2.1（项,term）
（1）个体为项;
（2）若f为n元函数，t1， ，tn为项，则f（t1, ,tn）为项；
（3）项仅限于此
定义2.2（原子公式,atomic formula）
（1）命题为原子公式；
（2）若p为n元谓词，t1， ，tn为项，则p（t1, ,tn）为公式；
（3）原子公式仅限于此.
定义2.3（公式,formula）
（1）原子公式为公式；
（2）若
为公式，则为公式;
（3）若
为公式，则∧
，∨，，为公式;
（4）若为公式，x为个体变元，则
，
为公式;
（5）公式仅限于此
若为公式且无自由变元出现，则称为句子（sentence）。
Frege教授在上建立一个逻辑PK。
PK由一组公理（axiom）和一个规则rule构成，若公式
在PK中可推出，
则记为|，在符号|中，横画表示命题，竖画表示判断的画符。
公理为反映最基本的被认为永真的公式，如
，∨（排中律）
规则为MP：，
|(肯定前件推论),
PK是不矛盾（consistent）且完全（complete）。
我们只给出语言的语法(syntax)，下节论述它的语义（semantics）。
§3. 在自然语言中的解释（interpretation）
本节论述的成分怎样由自然语言解释，从而给出一种自然语义。
（1）个体指可独立存在的东西,如：长江，1，魂, 等。
（2）函数指从个体到个体的映射（mapping），如：+ .
（3）谓词指个体具有的性质，如：红的，大于等。=解释为等于.
（4）命题指可分辨真假的语句, 如：银是白的.
（5）常命题T，F解释真，假. PK是2-valued logic，2值指真和假
（6）联结词（非，it is not the case that）；∧（且，and）；∨（可兼或，or）;
（蕴涵，imply），（等价，equivalent）
（7）
所有（for all），
存在（for some）
例：
（greaterthan（x,y））,谓词greaterthan（x,y）解释为x大于y，以上句子解释为对所有x存在y使x大于y。
∨（is
true or is
not true）.
自然语言是强大的(powerful)，它完全能解释。当然的expressive
power也非常强，B.Russell指出几乎所有的数学可由表达 。在中由∧或∨联结的项只能有限项，故不能表达阿基米德公理，但将它扩张为
（具有无穷∧和无穷∨）后即可。此外，还可加上谓词的谓词，量词的作用域为谓词的高阶量词，这样就构成高阶语言.作为计算是足够的，1980s流行的计算机程序设计语言 Prolog就是基于的。
§4. 以理解自然语言（Understanding of natural languages in ）
当用解释（或翻译或理解）时，人们既感到的能力，又感到困难，甚至无助，本节主要论述翻译自然语言的不足之处和限制（limitation）。
（1）
因为基于二值世界，故只能
（2） To be or not to be之类，对于x为小自然数则无法翻译，无法理解什么自然数是小的，张是秃头也不可理解。
无时态，但近年以来发展的tense logic已能处理时态。
王勃：落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色。其中的齐和共翻不出来。
（3）在处理自然语言的联结词时，无法表达原来的语义。
（3.1）在中p∧q等价于q∧p，但自然语言中未必，屡战屡败和屡败屡战的语义不同。
（3.2）中的或是可兼或不能用于翻译自然语言中的或,
鱼和熊掌不可兼得。设p：得鱼 q：得熊掌,上句为（p∨q）∧（（p∧q））
（3.3）自然语言中有时不出现若 则，但语义上却是若 则，这时形式语言无法对应，如唇亡齿寒，得寸进尺。
（4）解释谓词时要注要arity
疱丁为
（5）个体在中有时也不可翻，如：天津泥人张，南海康有为，那个发明造纸的人。Russell早就注意到这点，他的解决方案是在中添加descriptor ι，ιx.(x)=那个唯一的使(x)真的x.
（6）在中程度的词无法表达, 如必然，可能，大概，多半，几乎.
人们在中加入□和◇表示必然和可能. 1960s又产生了Fuzzy Logic来表达程度.
（7）自然语言中的量词最难处理，因为在自然语言中出现的量词有时有特定的语义。
（7.1）人人尽说江南好（韦庄）,这里人人可用
表达.
（7.2）人说山西好地方，这里人可用
表达
（7.3）All that glitters is not gold.
（glitter（x）gold（x））
（7.4）猛虎在深山 百兽震恐（司马迁）,这里量词百形式语言不可翻
（7.5）三人行必有吾师。举一反三，三不可翻
（7.6）万壑树参天，千山响杜鹃，山中一夜雨，树杪百重泉（王维）
万，千，百不可翻
（7.7）一石激起千重浪
（7.8）万曲不关心，一曲动情多
以上有许多量词不能由形式语言表达这是在中文中的虚量词。
（8）形式语言更不能翻译自然语言中的有趣成分，如：回文，谜语等。
巴拿马的广告语：A man, a plan, a canal: Panama
不可能译成其他语言而保留意思和回文的形式。
结论：多半不能理解自然语言。
·电脑与翻译
电脑基本上能用。但理解自然语言目前还很差，在翻译方面的智能是7岁儿童，而对于棋类则是棋王。翻译的困难在于：
（1）自然语言的歧义性（2）不知道情景（3）不懂语义（4）两种语言的不对应性
当今人工智能＋网络＋大型语义库的发展必将为机器翻译开创新时代，但永远不可能超越人的翻译。